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2022年成人高考专升本《高数二》备考笔记(7)

来源:成人学历报考中心发布日期:2022-04-18

事件及其概率的考点

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考点2 写出一个试验的所有基本事件及其样本空间

【例1】一次掷三枚同样的硬币,观察正面和反面出现的情况.用“正”表示{正面向

上},用“反”表示{反面向上},写出这个试验的基本事件及样本空间,并写出{至少有一

个正面向上}和{恰有两个正面向上}的事件所包含的基本事件.

【解析】根据试验内容,这个试验的所有基本事件如下:

W₁={正,正,正},W₂={正,正,反),W₃={正,反,正},W₄={反,正,正},W₅={正,反,反},W₆={反,正,反},W₇={反,反,正},W₈={反,反,反}.

试验的样本空间为:Ω=|w₁,W₂,W₃,W₄,W₅,W₆,W₇,W₈|.

不妨把|至少有一个正面向上)、恰有两个正面向上)的事件分别用A、B表示,则

A={w₁,W₂,W₃,W₄,W₅,W₆,W₇},

B={W₂,W₃,W₄}

考点3 利用事件的运算符号表示事件

【例2】设A、B、C为某一随机试验中的三个事件,试用事件的运算符号表示下列事件:

(1)A发生而B与C都不发生;

(2)A、B、C都发生;

(3)A、B、C至少有一个发生;

(4)A、B、C恰有一个发生;

(5)A、B、C至少有两个发生;

(6)A、B、C皆不发生.

【解析】根据各种运算的意义,各事件可表示为:

(1) ABC(或A∩B’∩C’) ;

(2) ABC或(A∩B∩C) ;

(3)A+B+C(或A∪B∪C);

(4) AB’C’+A’BC’+A’B’C(或(A∩B’∩C’)∪(A’∩B∩C’)∪(A’∩B’∩C) ) ;

(5) A’BC+ABC’+AB’C+ABC(或(A’∩B∩C)∪(A∩B∩C’)∪(A∩B’∩C)∪(A∩B∩C) ) ;

(6) A’B’C’(或A’+B’+C’,A’∩B’∩C’,A’∪B’∪C’) .

古典概型及概率的定义和性质

考点1 古典概型

(1)古典概型

如果随机试验E的样本空间Ω具有如下特征:

①有限性--Ω中只含有有限个基本事件;

②等可能性——每个基本事件发生的可能性相同.那么称这样的随机试验对应的概率模型为古典概型。

如,掷硬币、掷骰子的试验等均属古典概型

(2)古典概型中随机事件的概率计算公式

设古典概型中随机试验E的样本空间Ω由n个基本事件组成,而随机事件A包含k(≤n)个基本事件,则事件A发生的概率为P(A)=k/n。

考点2 概率的公理化定义

设E为一随机试验,Ω是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称P(A)为事件A的概率,如果它满足下列条件:

(1)非负性:对任一事件A,有0≤P(A)≤1;

(2)规范性:P(Ω)=1,P(ϕ)=0;

(3)可列可加性:对于两两互斥的可列个随机事件A₁,A₂,…,An,…,有

P(A₁+A₂+…+An+…)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(An)+…

考点3 概率的性质

(1)0≤P(A)≤1,P(ϕ)=0.

(2)对于任意事件A,B有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

特别地,当A与B互不相容时,P(A∪B)=P(A)+P(B).

其可推广:对于任意事件A,B,C有

P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC) .

当A₁,A₂,…,An,互不相容时,

P(A₁∪A₂∪…∪ An) =P(A₁) +P(A₂) +…+P(A),其中n为正整数.

(3)P(B-A)=P(B)-P(AB).

特别地,当ACB时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)≤P(B).

(4)P(A')=1-P(A).

以上概率性质很重要.希望考生掌握这些性质,并会用它们进行概率的基本运算.

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